日前，理学院教师张杰华博士在Computers & Mathematics with Applications (JCR: 数学1 区)上发表了题为“A family of quadratic finite volume method for solving the Stokes equation”的研究论文。

Stokes方程是计算流体动力学中的重要模型之一，具有广泛的实际应用背景。而现有研究求解Stokes方程的有限体积法格式均为Lagrange线性有限体积法格式。

该研究论文提出了在三角形网格上求解Stokes方程的一簇Lagrange二次有限体积法格式。论文中引入一种新的映射，通过研究其性质，在理论上证明了对于三角形网格的任意对偶剖分，求解Stokes方程的二次有限体积法格式都具有数值计算的稳定性，以及具有与有限元法同样的最优阶误差估计。

具体地，利用新映射,当三角形网格满足一定的几何条件（三角形最小内角）时, 二次有限体积法格式中的离散椭圆双线性型可满足椭圆性。再借助于广义鞍点理论, 可得到求解Stokes方程二次有限体积法格式的稳定性, 且具有中国足球彩票Stokes方程速度项的最优H1模和压力项的L2模误差估计, 而不受有限体积法对偶网格剖分的任何约束; 当取满足所谓的正交条件的特殊对偶网格剖分时,相应的二次有限体积法格式还具有中国足球彩票速度项的最优L2模误差估计。此外, 当取基于三角形高斯点剖分的对偶网格时, 此刻的有限体积法格式可等价于相应的二次有限元法格式, 仅在其右端项存在差异。 因此,此刻的有限体积法格式在具有中国足球彩票速度项的H1模最优阶误差估计的同时，不受三角形网格几何条件的任何限制。最后,该研究在数值上给出了三角形网格最小内角,以确保离散椭圆双线性型满足椭圆性, 另外通过数值实验验证了该研究理论结果的正确性。

特别的，此研究论文中给出了大量随机对偶剖分的数值实验验证了其误差估计结果的正确性。数值结果之一如表1所示。

表 1：随机对偶剖分的误差估计

另外，借助于Gmsh、Matlab、Tecplot等专业软件，对计算流体力学中的一些典型二维数学问题进行了数值模拟，其图像结果表明，该有限体积法格式用于处理计算流体力学中的问题是有效与可行的。例如图1给出了流体在二维通道中通过圆形障碍物的速度流线模拟图；图2给出了经典的顶盖驱动空腔流问题的速度流线模拟图，图3与图4为其左右底角处的两个涡旋扩大图。中国足球彩票详细内容请参见：Zhang J. A family of quadratic finite volume method for solving the Stokes equation[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2022, 117: 155-186.

图1：障碍物速度流线图

图2:：空腔流速度流线

     图3：左涡旋   

图4： 右涡旋